力学_舒幼生_第八章狭义相对论

1、1第八章狭义相对论第八章狭义相对论If A is a success in life, then A equals x plus y plus z. Work is x; y is play; and z is keeping your mouth shut.-Einstein28.1 狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理物理学的大综合物理学的大综合J. C. Maxwell (1831-1879)力力热热声声光光电电磁磁经典物理学经典物理学I. Newton (1642-1727)3l狭义相对论以前的力学和时空观描述物体的运动需要选择参考系，并在参考系中建立坐标系。OOxxyyzz),(),

2、(tzyxtzyx事件：物体在某一时刻处于某一位置物体的运动对应事件的变动选择不同的参考系，对同一事件的描述是不同的。选择不同的参考系，对同一事件的描述是不同的。为了简单，只考虑两个相互作匀速直线运动的参考系 S和S事件的时空坐标),(),(tzyxtzyxv4在两个相互作匀速直线运动的参考系 S和S中，事件的时空坐标之间有什么关系？OOxxyyzz),(),(tzyxtzyx时间的流逝在所有参考系中都相同tt经典力学认为经典力学认为空间的距离在所有参考系中也是相同的绝对时空观时间的流逝和空间的度量与物体的运动没有任何关系时间的流逝和空间的度量与物体的运动没有任何关系llv5OOxxyyzz)

3、,(),(tzyxtzyx考虑两个相互作匀速直线运动的参考系 S和S，它们相应的坐标轴彼此平行， S系相对S系的速度为v，沿x轴正方向。在t = t =0时刻，两个参考系的坐标原点重合。伽利略变换ttzzyyvtxxl伽利略变换v6速度定义t dzdut dydut dxdudtdzudtdyudtdxuzyxzyx,速度变换公式zzyyxxuuuuvuu相对速度 = 绝对速度 - 牵连速度7l伽利略相对性原理伽利略在1632年出版的著作关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然后挂上一

4、个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力，你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。8爱因斯坦把伽利略表达的意思称为伽利略相对性原理在一个惯性系的内部所做的任何力学实验都不能确定这一惯性系本身是在静止状态还是在作匀速直线运动。一切惯性

5、系对于描述运动的力学定律来说是完全等价的，不存在任何一个比其它惯性系更为优越的惯性系。一切惯性系中力学定律都相同一切惯性系中力学定律都相同几种不同的表述，都是等价的9根据伽利略变换adtdvdtdvdtdvt dvdt dvdt dvdaaaazyxzyxzyx,即两个惯性系中加速度相同。此外，经典力学认为不同惯性系中观测到的力和质量也都相同。在两个惯性系中力学运动基本定律都具有牛顿第二定律的形式在经典力学中牛顿第二定律、伽利略变换和伽利略相对性原理三者是自洽的伽利略相对性原理表明不可能用力学实验确定惯性系自身的运动不存在绝对静止的参考系不存在绝对静止的参考系运动都是相对的，但时间和空间是绝对

6、的运动都是相对的，但时间和空间是绝对的10l电磁场理论建立后呈现的新局面02222EctE02222BctB1865年麦克斯韦建立了描述电磁现象的麦克斯韦方程组，它的一个重要推论是存在电磁波。真空中电磁波满足的波动方程为式中c是真空中的电磁波传播速度，m/s100 . 31800c电磁波在真空中沿各方向的传播速度都等于光速11从伽利略变换来看，电磁波的传播显然不满足相对性原理OOxxyyzz),(),(tzyxtzyx如果电磁波在某一惯性系S中沿各方向的传播速度为c，则在相对S系速度为v的S系中在v方向上电磁波的传播速度为c-v，在-v方向上电磁波的传播速度为c+v。在S系中电磁波传播速度各向

7、同性，大小均为c；而所有相对S系运动的其它 S系中电磁波的传播速度不再各向同性S系可以被认为是绝对静止的，称为绝对惯性系，或叫做以太系其它惯性系相对它都是运动的，做绝对运动。v12在光学的早期研究中，设想光波象机械波一样，需要在介质中传播这种介质称为以太（ether），光波就是以太中振动的传播物理学家曾设想过以太的一些性质它存在于真空中，又能够穿透任何透明物质，其密度一定很小光是横波，以太具有切变模量；光速很大，以太的切变模量很大在力学中无法探测和证实的绝对惯性系在电磁理论中又复活了摆在物理学家面前的课题用电磁学或光学的实验方法找出这一绝对惯性系，或测出我们的地球参考系相对绝对参考系（以太系）

8、的速度有多大13l迈克尔孙-莫雷实验1M2M1Gvcvc入射光入射光设地球相对以太系的速度为v，方向沿干涉仪的一臂G1M2或者说地球上的观察者感受到的以太风速向左为v。以太风以太风1Mccvv光在以太系中沿各方向的传播速度都是c在地球参考系中光沿各方向的传播速度不同v14光在G1M2上来回所需时间222112cvclvclvclt光在G1M1上来回所需时间2/1222211122cvclvclt相应的光程差2212)(cvlttctc实验中将干涉仪绕竖直轴旋转900，干涉仪的两条支路地位互换，滞后的时间差和光程差改变符号，结果引起干涉条纹移动。222cvlN干涉条纹移动数15实验中采用的数据大

9、致如下：km/s30m109 . 5m2 . 17vl1881年迈克耳孙干涉仪的实验精度04. 0N1887年迈克耳孙和莫雷合作改进了干涉仪，光路多次反射达到m11l4 . 0N没有观测到条纹的移动没有观测到条纹的移动实验结果：没有观测到条纹的移动实验结果：没有观测到条纹的移动16迈克尔孙和莫雷以后进一步改进仪器，并在不同季节和地球上不同地方多次实验都得到相同的否定结果这似乎得出地球相对以太系的运动速度恒为零地球参考系就是绝对参考系，就是宇宙的中心伽利略变换、相对性原理和麦克斯韦电磁理论三者之间存在矛盾17爱因斯坦：机遇与眼光爱因斯坦极其幸运。他出生于一个合适的时代，当物理学面临重重危机的时候

10、，他的创造力正处于巅峰，他有机会改写物理学的进程他有自牛顿时代以来的独一无二的机遇他有自牛顿时代以来的独一无二的机遇拉格朗日：“虽然牛顿确实是杰出的天才，但我们必须承认他也是 最幸运的人：人类只有一次机会去建立世界的体系。”自然哲学的数学原理第三卷前言：“现在我要演示世界体系的结构”爱因斯坦有机会修正200多年前牛顿所创建的体系，这个机会当然也对同时代的科学家们开放。当时许多科学家对这个题目也极感兴趣。18庞加勒(J. H. Poincar, 1854-1912)在1904年的演讲“新世纪的物理学”有这样一段：“根据相对原理，物理现象的规律应该是同样的，无论是对于固定不动的观察者，或是对于做匀

11、速运动的观察者。这样我们不能够，也不可能，辨别我们是否正处于这样一个运动状态 ”关于相对性原理关于相对性原理关于时空变换关于时空变换洛仑兹(H.A. Lorentz, 1853-1928)在1915年写道：“我失败的主要原因是我死守一个观念：只有变量 t 才能作为真正的时间，而我的当地时间 t 仅能作为辅助的数学量。”他写出了时空变换公式，可是他不敢讲这个 t 就是一个运动观察者的时间。26岁的爱因斯坦敢于质疑人类关于时间的错误的原始观念，坚持同时是相对的同时是相对的，才打开了通向新物理的大门。19爱因斯坦对时空有更自由的眼光 (free perception)要有自由的眼光，必须能够同时近看

12、和远看课题杨振宁庞加勒只有远距离的眼光，洛仑兹只有近距离的眼光。只有爱因斯坦把远近的眼光结合起来，才引发了物理学的革命。关于广义相对论，爱因斯坦没有抓住什么机遇，他创造了这个机遇关于广义相对论，爱因斯坦没有抓住什么机遇，他创造了这个机遇20l爱因斯坦的选择面对伽利略变换、相对性原理和麦克斯韦电磁理论三者之间的矛盾，存在三种选择：（1）相对性原理只适用于力学，不适用于电磁学（2）麦克斯韦电磁理论还不够完善（3）麦克斯韦电磁理论是正确的，相对性原理是适用于 力学和电磁学的普遍原理，而伽利略变换必须抛弃。爱因斯坦坚信第三种选择，他领悟到伽利略变换中牛顿绝对时空观原来是头脑中的抽象推测，并没有实验事实

13、的支持。马赫的思想：“凡不能由实验证实的概念和陈述 都不应在物理学中占有任何地位。”爱因斯坦开始寻找与相对性原理和麦克斯韦电磁理论和谐一致的新的时空变换21l爱因斯坦的假设为了得出新的时空变换，爱因斯坦提出两条基本假设：（1）狭义相对性原理：物理定律在所有惯性系中都相同（2）光速不变原理：真空中的光速等于c，与光源的运动无关爱因斯坦从迈克尔孙实验结果认识到，不存在绝对静止的参考系，相对性原理不仅对于力学，而且对于电磁学，亦即对整个物理学都是成立的。一切惯性系对物理规律来说都是等价的。在一个惯性系内部所作的任何物理实验都不能确定惯性系本身的运动状态228.2 相对论时空度量的相对性相对论时空度量

14、的相对性8.2.1 相对论时空观相对论时空观牛顿：存在不同的参考系，但有共同的时间和空间爱因斯坦：有不同的参考系，就有不同的时间和空间伽利略变换体现了绝对时间和绝对空间的观念洛仑兹变换则体现了新的时空观时间和空间不再是绝对的，时间、空间与物体的运动密切相关。根据狭义相对论，同时是相对的在一个惯性系看来两个异地事件是同时发生的，而在另一个惯性系看来它们不是同时发生的。238.2.2 时空度量的相对性时空度量的相对性l各惯性系中的时空度量惯性系S的空间位置用直尺进行度量，度量时，直尺须相对S系静止相邻两次度量之间，直尺必定处于运动状态。爱因斯坦设想存在静态长度与其曾经有过的运动无关的直尺理想直尺惯

15、性系S的理想直尺移动到S系后，即为S系中的理想直尺。24时钟零点的校准时钟零点的校准有一种简单方法来校准异地的时钟：利用光信号的传播中央的时钟向邻近的时钟发射光信号，可校准同步所有时钟。25在相对论时空中的时间都是指已经校准好的钟所指示的时间，并且在惯性系中每个空间点有一只校准好的时钟。时钟计时率的校准时钟计时率的校准标准时钟待校准的时钟AtBtAt待校准的时钟读数应为AAABtttt2126Wireless GPS Synchronized Clock System27l惯性系间时空度量的相对性同时的相对性同时的相对性是狭义相对论的一个基本概念，时空的许多新特性都与同时这一概念有关，学习狭义

16、相对论产生的一些似是而非的问题大都与同时概念模糊有关。每一个惯性系根据光速不变原理建立自己的时空度量系统，但是各自认定的是光相对本惯性系的真空传播速度为常量 c ，而光相对其它惯性系的真空传播速度并不是 c 。于是，便引发惯性系之间时空度量的差异时空度量的相对性。28时钟零点校准的差异时钟零点校准的差异0:00S系S系1:001:000:512600:001:10v惯性系S相对S系匀速运动原点重合时，各自校准其它的时钟零点vcvcAOBAOBS系认为，A时钟拨慢了，B时钟拨快了。S 系认为，A时钟拨快了，B时钟拨慢了。时钟零点校准的差异与同时的相对性是一致的29运动直尺的长度收缩运动直尺的长度

17、收缩S系S系v1x2x1x2x00:11t00:12t直尺A B相对S系静止，直尺两个端点坐标的差值即为直尺的静止长度21xxl静S系为了确定运动直尺A B的长度，同时测量直尺两个端点的坐标，其差值即为运动直尺的长度21xxl动S系认为，因相对运动，这种先测头部，后侧尾部的结果必然是静动ll30运动时钟变慢运动时钟变慢考虑一个最简单的时钟，由两个反射镜和一个光子组成。时钟相对观察者匀速运动，运动速度为v时钟测量的时间观察者测量的时间clt 0lvt020220221 )()()(tcvttcvtctcvtlt运动时钟变慢时间膨胀31运动直尺的长度收缩运动直尺的长度收缩S系S系v直尺AB相对S系

18、静止clt静2S系测量的运动直尺AB的长度 l动222vcclvclvclt动动动21 cvtt静止直尺的长度 l静221cvll静动AB32l相对论中的相对运动不同的惯性系对同一事件的时空度量不同，同一相对运动必须指明是相对哪一个惯性系而言。zOrBxyABrS系Ar ABABABaaavvvrrr在惯性系S中，可分别测量质点A的运动、质点B的运动B相对A的运动在S系中， B相对A的运动 = B的运动 - A的运动在S系中，若A作匀速运动，此相对运动不同于B相对惯性观察者A的运动。例例 在S系中，A以匀速 v 运动，B以光速 c 运动。338.3 狭义相对论时空变换及其推论狭义相对论时空变换

19、及其推论l洛仑兹变换洛仑兹变换洛伦兹变换是洛仑兹首先得到的，他是在存在绝对静止惯性系的前提下，考虑物体因运动而发生收缩的物质过程，引入“地方时”概念而得到洛伦兹变换的。爱因斯坦与他不同，是从狭义相对性原理和光速不变原理导出洛仑兹变换，使之成为狭义相对论中具有基础地位的关系式。设一个事件在两个惯性系S 和S 中的时空坐标分别为),(),(tzyxtzyx和两个惯性系S 和S 之间时空坐标的变换应具备什么性质？34考虑光在真空中传播的两个事件从某一点发出一光波为事件1，在另一点接受到光信号为事件2tcr根据光速不变原理，在所有惯性系中，这两个事件都满足方程：在两个惯性系S 和S 中，这两个事件的时

20、空坐标的变换必须满足002222222222tczyxtczyx两个事件的间隔在所有惯性系中是否相同？任意两个事件的间隔222222zyxtcs35人们谈论空间上的点和时间上的时刻，就好像它们是绝对的实在人们没有认识到确定时空的真正元素是那些由四个数（x, y, z, t）所确定的事件。“某事件正在发生”这一概念总是四维的当放弃了时间的绝对性尤其是同时的绝对性这一假设后，就会立刻认识到时空概念的四维性。某个事件发生的空间上的点和时间上的时刻都不具有物理实在，只有事件本身才具有物理实在。两个事件之间在空间上没有绝对（与参考空间的选择有关）的关系，在时间上也没有绝对的关系，但是却有绝对（与参考空间

21、无关）的空间和时间关系。爱因斯坦爱因斯坦相对论的意义相对论的意义36根据狭义相对性原理，两个惯性系是完全等价的。因此，S 系和S 系之间时空坐标变换必须是线性的。由相对性原理，一个惯性系中的匀速运动在另一个惯性系看来也必须是匀速运动。只有时空坐标变换是线性的才能保证这一点。从数学上看， S系和S系是等价的，S 系和S 系之间时空坐标变换必须是相同性质的变换，只有线性变换的逆变换仍然是线性变换tazayaxattazayaxaztazayaxaytazayaxax4443424134333231242322211413121137OOxxyyzz),(),(tzyxtzyxv与速度正交方向上的距

22、离是不变的与速度正交方向上的距离是不变的因为若00)(zvz由运动的相对性，应有00)(zvz由于空间没有特定的方向，(v)只能依赖速度的数值，而不依赖其方向。0200)()()(zvzvvz由变换的连续性应有1)(2v1)(v因此00zz38OOxxyyzz),(),(tzyxtzyx考虑两个相互作匀速直线运动的参考系 S和S，它们相应的坐标轴彼此平行， S系相对S系的速度为v，沿x轴正方向。在t = t =0时刻，两个参考系的坐标原点重合。对于这种情形，y 和 z 不变，一般的线性变换简化为taxatzzyytaxax44411411v39（1）运动的相对性 S系相对S系以匀速v运动 S系

23、相对S系以匀速v反向运动taxattaxaxa44411411 )(taxattaxaxb44411411)()( )(b)代入(a)第一式，x 、t 独立，对应系数相等，得到代数方程441141142111aaaaavtxx, 0代入(a)第一式1114vaa关于四个系数的方程尚缺一个40（2） 绝对时空观伽利略变换时间的度量与空间的度量无关041a时间绝对144a空间绝对111a三个条件等价伽利略变换ttzzyyvtxx考虑到 x，t 增大时，x ，t 也增大，因此0, 04411aa41( 2 ) 光速不变原理洛仑兹变换t = t = 0 时刻，从坐标原点发出一光波为事件1，事件2为在x

24、轴另一点接收到光信号。根据光速不变原理，在两个参考系中，光波向各方向传播到达的时空点，即位置与时间满足球面方程：t cxbctxa )( ; )(将线性变换代入(b)式，并代入(a)式，得到41214aca考虑到 x，t 增大时，x ，t 也增大，因此0, 04411aa最后可得解2244222412214221111,1/,1,11cvacvcvacvvacva42洛伦兹变换洛伦兹变换cvxcvttzzyyvtxx式中 ,11222静系S到动系S的变换逆变换逆变换cvxcvttzzyyt vxx式中 ,11222动系S到静系S的变换伽利略变换是洛仑兹变换低速下的极限情形cv 43在一个惯性系

25、在一个惯性系S中校准同步的时钟，中校准同步的时钟，在相对此惯性系运动的其它惯性系中不再同步在相对此惯性系运动的其它惯性系中不再同步221xcvtt在相对此惯性系运动的其它惯性系中，S系的时钟不再是同步的221 0 xcvtt00:00S系S系00:0000:0000:0000:0000:2000:1000:0023:5023:40v前面的时钟拨慢了，后面的时钟拨快了。44在一个惯性系中同时的两个事件，在一个惯性系中同时的两个事件，在相对此惯性系运动的其它惯性系中不再同时。在相对此惯性系运动的其它惯性系中不再同时。考虑两个事件1和2。它们在两个惯性系S和S中的时空坐标分别为),(),(),(),

26、(22112211txtxtxtx与根据洛仑兹变换cvxxcvtttt,1)()(21221212两个事件在惯性系S中同时，即21tt 在惯性系S中2122121)(xxcvtt事件2可在事件1前面发生，12xx 也可能在事件1后面发生12xx 45例例 在惯性系S中观察到两事件发生在同一地点，时间先后差2s。在另一相对于S系运动的惯性系S中观察到两事件之间的间隔为3s。试求S系相对于S系的速度大小v和在S系中测得的两事件之间的距离d。解： 沿S、S相对运动方向设置x、x 轴，有S系：S系：sttttxxtx2,2,112121211后发生；先发生，事件事件sttttxtx3,2,112122

27、11后发生；先发生，事件事件洛仑兹变换212212212121)(1)()(ttxxcvttttcv35csttvttvxxxxd51)(1)()(221221212146同时的相对性是否会破坏因果律？同时的相对性是否会破坏因果律？有些事件有因果联系，它们之间的时间顺序是不能颠倒的。cvxxcvtttt,1)()(21221212对于有因果联系的事件，若它们相互作用的传播速度不大于光速011)( 212121212cvttttcttxx则有因果联系的事件不会发生时序的颠倒47两事件的间隔22221221221221222)()()()(rtczzyyxxttcs两事件的间隔在所有惯性系中具有相

28、同的值，是一个不变量。AB是类时间隔AC是类空间隔ctr光锥内有绝对过去和绝对将来，因果律成立。48l长度的相对性不同的惯性系中空间的度量具有相对性，运动的直尺缩短。一根静止的杆长度为l0当它沿长度方向以速度v运动时，其长度如何？在静止的惯性系S中，如何测量运动的杆的长度？杆相对S系静止，长度为l0，在S系中须同时测量杆的两个端点212122222111 1,1xxxxvtxxvtxx0201lll运动的尺度缩短49例 短隧道如何装入长火车？设隧道长 L1，火车长 L2L1，火车以匀速 v 驰进隧道。cvLLL,12221动22211LLcv50l时间的相对性根据狭义相对论，时空的属性除了运动

29、的直尺缩短之外，还有运动的时钟变慢，或称作时间膨胀。在静止的惯性系S中，如何测量运动时钟的时间间隔？时钟在S系静止，位于 x，它的两次报时是两个事件，在S系看来21212222222111 1,1ttttxcvttxcvtttttt2121 固有时在一个惯性系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔固有时最短固有时最短51例例 子衰变ee子静止时的寿命s1000004. 019703. 26子是物理性质与电子类似的粒子，质量是电子质量的206.768倍。子在大气层上部产生，速度为0.998c，无时钟效应，平均走过距离660米，但实际上大部分子都能穿透大气层到达底部。52子以速度0.998c运

30、动，寿命是静止寿命的15倍，可运行9500m由于相对论效应s5201016. 31子在较短的固有寿命中能够飞跃大气层，这是客观事实，但在不同的惯性系中有不同的解释：地面参考系： 子的寿命变长了。子参考系：大气层的厚度变短了。然而结果相同：大部分子都能穿透大气层到达底部53例例 惯性系S中三艘已处于匀速直线运动状态的飞船1，2，3，各自的速度大小同为v，航向如图所示。某时刻三艘飞船“相聚”（彼此靠近，但不相碰）于S系的O点，此时各自时钟都校准在零点。飞船1到达图中与O点相距l的P处时，发出两束无线电信号，而后分别被飞船2、3接收到。（1）在飞船1中确定发射信号的时刻t1；（2）在飞船2中确定接收

31、信号的时刻t2；（3）在飞船3中确定接收信号的时刻t3；PO132xyvvvly 54PO132xyvvvly （1）在飞船1参考系中，S系相对运动速度为v，OP距离应为ll21动vlvlt211动或者，在S系中，两个事件的时间间隔vltS1vlttS21211155PO132xyvvvly （2）在S系中，两个事件的时间间隔vlvclvltS1122在飞船2上测得的时间vlttS1111222256PO132xyvvvly （3）在S系中，飞船1发出信号到飞船3收到信号的时间间隔t222tvlltcclt2212在S系中，飞船3收到信号的时间tvltS3在飞船3参考系中测得时间clttS22

32、23231211157l刚体模型在剑参考系中，桶收缩，剑先刺到桶。在桶参考系中，剑收缩，剑先被挡住。事实是，在两个参考系中，剑会刺到桶并被挡住，试加以证明。剑长与桶深相同，剑相对桶的运动速度为v，问剑先刺到桶还是剑被挡住？58设光源相对接受器的运动速度为v，接受器所在的参考系为S，在光源上建立参考系S。v在参考系S中，光的频率和周期为00 ,TT 21TT在参考系S中，光源的时钟变慢观测到的波长因光源的运动而改变TvcT)cos(观测到的光波频率02cos11cl相对论多普勒效应S系S系59蓝移频率变大光源靠近接受器一级多普勒效应当,11, 00v红移频率变小光源远离接受器一级多普勒效应当,1

33、1,0v红移频率变小纯相对论效应二级多普勒效应当,1,202v60多普勒效应为宇宙膨胀学说提供了依据。1917年M. Slipher拍摄到15个涡旋星云的光谱，发现其中13个星云的吸收谱线移向红端。这表明这些星系正在远离我们而去。1929年E. P. Hubble在此基础上根据自己测定的距离资料，总结出哈勃定律：星系的红移量与距离成正比。以后哈勃定律被更多的观测数据所证实，这意味着越远的星系退行速度越大，整个宇宙在膨胀。61例 星光的红移氢原子巴尔末线系的最大波长0=656nm，在观测来自一个遥远星系的光谱中，这条谱线的波长的测量值为=1458nm。求星系相对地球的退行速度。退行速度就是多普勒

34、公式中的v011v0011v664. 0ccv664. 062多普勒效应在气象中的应用63l速度变换伽利略变换下的速度变换公式，在相对论中不再成立。将洛伦兹变换公式两边取微分cvdxcvdtt ddzzddyydvdtdxxd式中 ,11222在参考系S中，速度定义为t dzdut dydut dxduzyx,64相对论速度变换xzzxyyxxxucvuuucvuuucvvuu2222211111xzzxyyxxxucvuuucvuuucvvuu2222211111相对论速度逆变换65若物体相对一个参考系的运动速度小于c，即则相对于任意参考系，它的速度都小于c。2222cuuuzyx22222

35、222222222222222222222222222211cvucuuucvcccvucvuucvcvucuuuucvuuvuuuuxzyxxzyxzyxxzyxzyx2222cuuuzyx2222cuuuzyx在任何参考系中光速不变66l加速度变换在参考系S中，加速度定义为t dudat dudat dudazzyyxx,相对论加速度变换xxzzxzxxyyxyxxxaucvucvaucvaaucvucvaucvaaucva32222223222222322/32111111111167相对论加速度逆变换xxzzxzxxyyxyxxxaucvucvaucvaaucvucvaucvaaucv

36、a32222223222222322/32111111111168相对论中，只有加速度为零时才是惯性系不变的0 0aa加速度变换的三个特征：有关。）加速度的变换与速度（叉变换关系，）加速度分量间存在交（）一般情况下（32 1aa因此，经典力学中牛顿第二定律需要修正。698.4 相对论动力学相对论动力学l概述根据狭义相对性原理，物理定律应在洛伦兹变换下具有不变性麦克斯韦方程组具有洛伦兹变换不变性在高速情况下，动量守恒、能量守恒以及质量守恒仍然成立在不同的惯性系中，同一个质点的加速度不再是不变量。经典力学的基本定律牛顿第二定律需要修正70l动质量公式SxyuvxyuuSxyuv1uxyuS系：两个

37、相同的小球以等速u相向运动，碰后静止SS碰前碰后S系相对S系以匀速u向右运动S系S系71在S系中2221121cuuucuuuu0122ucuuuu两球碰后的速度ucuuucuuuuxx0101221根据动量守恒和质量守恒MmmuMmu01小球1和2碰撞前的速度分别为uuumm1022101cumm从u1速度变换式解出u，略去大于光速的解，即得72物体的质量m与其静止质量m0和速度v的关系2201cvmm0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.012345678 m/m0v/c73l牛顿三定律的修正在洛仑兹变换下，加速度不等于零时不再是不变量，质量依赖于速度，力必然也不

38、再是惯性系不变的。在狭义相对论中，牛顿第一定律仍然成立，牛顿第二定律需要修正，牛顿第三定律也不再成立。重新定义质点的动量2201cuumump重新定义力dtpdFdtvmddtpdF相对论力学的基本定律为74dtvmddtpdF相对论力学的基本定律质点动量定理pddtF质点动能定理kdEl dF75l质能关系外力对物体做功，物体动能增加。设物体自静止开始受力而加速，外力方向始终与位移方向相同，物体动能的增量即为末状态的动能2022022022002022002002000111111cmmccmcmvmdvvmvmvmvdvdtvmdtdFdll dFEvvvvvk202cmmcEk76202

39、cmmcEk当 v c 时，2222111cv2020221vmcmmcEk0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5012345 Kinetic energy Ekv/c相对论动能公式相对论非相对论77能量与质量能量与质量2mcE 20cmEEk一定的质量m对应一定的能量mc2一定的能量E对应一定的质量E/c2质量守恒定律能量守恒定律质能守恒定律物体的质量和能量是紧密联系在一起的力学中两个独立的守恒定律在狭义相对论中统一为质能守恒定律78质量亏损：各种原子核的质量都小于组成该核的相同数目的核子 （质子和中子）的质量。早在20世纪20年代，

40、人们用质谱仪测定了各种核同位素的质量。79重核裂变180MeV2nSrXeUUn94381406423692235921kg的235U核裂变，释放能量81013J，相当于燃烧27000吨优质煤80轻核聚变17.6MeVnHe HH423121聚变反应是恒星发射巨大能量的来源SOHOs Extreme ultraviolet Imaging Telescope. 81l能量动量关系在狭义相对论中动量的定义仍为vmp能量222021cvcmmcE2222021cvvmppp420222cmcpE对于静止质量为零的粒子pcE mccEp静止质量为零的粒子永远以光速 c 运动82例例 静质量为m0的质

41、点静止于x = 0点，t = 0开始在一个沿x轴方向的恒力F作用下运动。试求：（1）质点速度u和加速度a随位置x的变化关系；（2）质点速度u和加速度a及位置x随时间t的变化关系。质点动能定理202220/1cmcucmFx引入常量20cmFcxxxu1)2(两边对时间求导32)1 (xca83质点动量定理220/1cuumFt22221tctcucutlim两边对时间求导2/32222)1 (tcca0limat在加速过程中，质点质量越来越大，趋于无穷，加速度便趋于零111222tcx如果1222tc20222121tmFtcx84例例 质点A、B静质量同为m0，今使B在惯性系S中静止，A则以

42、3c/5的速度对准B运动。若A、B碰撞过程中无能量释放，且碰后粘连在一起，试求碰后相对S系的运动速度v及系统动能减少量。碰前A的质量020451mmmA无能量损失，质量守恒，碰后质量为049mmmMBA碰撞过程动量守恒MvcmA53cv31碰后粘连体的静质量02202231mMcvM系统动能减少量等于系统静能增加量20202022232cmcmcMEk85例例 水平隧道AB长L0，一列火车AB静长 L = 2L0。今使火车如图所示，以匀速v驰入隧道，地面系中观察到A与A相遇时恰好B与B相遇。试根据洛仑兹变换计算v值，并在列车系中计算从A与A相遇到B与B相遇之间的时间间隔t。ABABL0v地面参

43、考系S，火车参考系S以A与B相遇的时刻为t = t = 0时刻，以A与B相遇的位置为S与S的原点。洛仑兹变换为 11222xcvttvtxx86在 A与 A相遇的时刻 t，车头：0,2xlx车尾：lxx, 0上述两事件代入洛仑兹变换（1）式cvlvt23, S系观察者测量A与A相遇的时刻tA 对应vltlx ,clcltA23322S系观察者测量B与B相遇的时刻tB 对应vltx , 00322cltBS系中从A与A相遇到B与B相遇之间的时间间隔cltttAB387例例 太空火箭（包括燃料）的初始质量为M0，从静止起飞，向后喷出的气体相对火箭的速度u为常量，任意时刻火箭相对地球速度为v时火箭的

44、瞬时静止质量记为m0。忽略地球引力影响，试求比值m0/M0与速度v之间的关系。火箭的质量为m时，速度为v向后喷出的气体相对地球的速度2211cvuvuucvvuvxx气系统m分为m + dm和 dm（隐含了能量守恒）cvmddm ,120解法一：采用运动质量88动量守恒气dmvdvvdmmmv)(略去二阶小量0)(dmvvmdv气020) 1(udmdvm0011ln2lnCucm0000ln , 0, 0MCMmv11ln2ln00ucMmucMm2001189火箭的质量为m时，速度为v向后喷出的气体相对地球的速度2211cvuvuucvvuvxx气系统m0分为m0 + d m0和 dm0（

45、静止能量转化为动能）解法二：采用静止质量能量守恒动量守恒2202200201)(11cvmdcdvvdmmm气气气vcvmddvvcdvvdmmvm2202200201)()(11（1）（2）（1）式代入（2）式，略去二阶、三阶小量020) 1(udmdvm90解法三：采用相对火箭静止的参考系在相对火箭静止的参考系中0)()(000udmvddmm在地面参考系中2221)(1)(cvdvcvdvvvdvvvd020) 1(udmdvm代入动量守恒方程动量守恒91一标量和矢量一标量和矢量1、基础物理学中的两类物理量：、基础物理学中的两类物理量：标量物理量标量物理量(标量标量) 遵循遵循代数运算法

46、则代数运算法则, 如如m, t, V矢量物理量矢量物理量(矢量矢量) 遵循遵循矢量代数运算法则矢量代数运算法则, 如如 , , rvFAA用有向线段表示矢量，用有向线段表示矢量，矢量的大小叫做矢量矢量的大小叫做矢量的模，用符号的模，用符号 表示。表示。A图图1 矢量的图像表示矢量的图像表示92图图3两矢量相加的平行四边形法则两矢量相加的平行四边形法则1 1、矢量加法、矢量加法：cBCABC平行四边形法则平行四边形法则abAd二二 矢量合成的几何方法矢量合成的几何方法93图图4两矢量相加的三角形法则两矢量相加的三角形法则自矢量自矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，再从矢量，再从矢量 的始端的始

47、端到矢量到矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，则，则 就是就是 和和 的合矢量。的合矢量。ABABCBCAabABcCdB942、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：222cosCABABsinarctancosBABABCxcosBsinB图图5 合矢量的计算合矢量的计算953、同一平面内多矢量的相加、同一平面内多矢量的相加ABCDABCDR图图6 同平面多矢量相加同平面多矢量相加96三三 矢量合成的解析法矢量合成的解析法1、矢量在三维直角坐标轴上的分矢量和分量：、矢量在三维直角坐标轴上的分矢量和分量：xyzAAAAxyzAA iA jA k矢量矢量

48、的模为：的模为：A222xyzAAAAxyzoAxAyAzAijkcos/,cos/,cos/xyzAAAAAA矢量矢量 的方向为：的方向为：A图图7 矢量在三维直角坐标轴矢量在三维直角坐标轴上的正交分量上的正交分量972、矢量合成的解析法：、矢量合成的解析法：xyoABCxAxByByA矢量矢量 和和 在两坐标轴上在两坐标轴上的分量可分别表示为：的分量可分别表示为：ABcossinxyAAAAcossinxyBBBBxxxCAByyyCAB22xyCCCarctan/yxCC图图8 矢量合成解析法矢量合成解析法98四四 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积物理学中，矢量乘积有两种：标积物理学中，

49、矢量乘积有两种：标积(点乘点乘)，矢积，矢积(叉乘叉乘)1、矢量的标积：、矢量的标积：A BcosABABA BcosABABo0A BABABo180A BABo90A B0AB99标积的性质：标积的性质：(1) 标积的交换律：标积的交换律：A BcosABcosBAB A(2) 标积的分配律：标积的分配律：A BCA C B C xyzAAiA jAkxyzBBiB jBkxxyyzzA BABA BAB1002、矢量的矢积：、矢量的矢积：A BC 矢量矢量 的大小为：的大小为：CsinCAB矢量矢量 的方向为：的方向为：CBACBACsinB图图9 两矢量的矢积两矢量的矢积平行四边形面积

50、平行四边形面积101矢积的性质：矢积的性质：(1) 矢积不遵守交换律：矢积不遵守交换律：A BB A A BB A(2)sinA BAB当当 时，时，0 or0A B(3) 矢积的分配率：矢积的分配率：CA BC A C B 102利用利用 ，,0ijk ikj ii xyzxyzA BAiA jAkBiB jBkxyxzAB kAB jyzyxA BiA BkzxzyAB jAB ijikyzzyA BAB izxxzABABjxyyxABA B k xyzxyzijkA BA A AB B B103五五 函数、导数和微分函数、导数和微分1、函数：、函数：如果当如果当 x 在其变域内任意取一

51、数值时，在其变域内任意取一数值时，y 都有确定的值与其对都有确定的值与其对应，则称应，则称 y为为 x 的的函数函数。 yf x如果当如果当 y 为为 z 的函数，的函数，z 又是又是 x 的函数，则的函数，则 y为为 x 的的复合函数复合函数。 yxfg x zg x中间变量中间变量cosxAt简谐振动表达式：简谐振动表达式：1042、导数：、导数：如果函数如果函数 y =f (x) 在在 x=x0 处有增量处有增量x ，因此相应函数，因此相应函数 y 也会也会有一增量有一增量00yf xxf x 则则00f xxf xyxx叫做函数叫做函数 y 在在x0 到到x0 + x 之间的平均变化率

52、。之间的平均变化率。若当若当 时，时， 有极限，则称有极限，则称 f (x) 在在 x0 处可导，并把处可导，并把极限称作极限称作f (x) 在在 x0 处的处的导数导数。/yx0 x 000, ,x xx xdyfxydx00000limlimxxf xxf xyfxxx 105若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数导函数。 00limlimxxf xxf xyfxxx ox f x0 x0 xxyxPQ 00limlim

53、 tanxxyfxx tanyxR导数的几何意义：导数的几何意义：函数曲线的斜率函数曲线的斜率106基本导数公式：基本导数公式： 0 cc为常数1 nnxnxn为实数sincosxxcossinxx 2tansecxx2cotcscxx 1loglnaxxa 1lnxxlnxxaaa xxee21arcsin( 1) ( 11)xxx 21arccos( 1) ( 11)xxx 21arctan(1) ()xxx 21arccot(1) ()xxx 107导数的基本运算法则：导数的基本运算法则：设设 u ，v 均为均为 x 的函数。的函数。uvuv; uvu vuvcucuc为常数2 0uu

54、vuvvvv 为为 的反函数，的反函数， yf x xy 1, 0f xyy ， ，y为为x的复合函数的复合函数 yf u ux yfxdydy dudxdu dx108若若 的导数的导数 对对 x 可导，可导， yf x fx 22, d yfxydx或 函数的极值点和极值：函数的极值点和极值：若函数若函数 在在 x0 某一邻域内有定义，且某一邻域内有定义，且 比在比在 x0 某邻域内所有各点某邻域内所有各点 的值都大的值都大(都小都小)，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值的一个极大值(极小值极小值)。x0 点称为函数点称为函数 的一个极的一个极大点大点(极小点极小点)。 yf x0f

55、x f x0f x f x f x fx则则 叫做叫做 f (x) 的的二阶导数二阶导数，记作，记作若函数若函数 在在 x0 附近有连续的导函数附近有连续的导函数 和和 ， f x fx fx若若 而而 ，00fx00fx00,fx0f x为极小值为极小值00,fx0f x为极大值为极大值1093. 微分：微分： dyfxxdy若函数若函数 在在 x 处可导，则处可导，则 在点在点 x 处的导数处的导数 与自变量增量与自变量增量 的乘积称作函数的乘积称作函数 在在 x 处的处的微分，记作微分，记作 yf xx fx yf x yf xdy若将若将 记作记作 ，则，则 称作函数的微分，记作称作函

56、数的微分，记作xdx dyfx dx110六六 不定积分不定积分1. 原函数：原函数：设设 是定义在某一区间上的函数，若存在函数是定义在某一区间上的函数，若存在函数 ，使得，使得在这个区间上的每一个点都有在这个区间上的每一个点都有 ， f x F x Fxf x则称则称 为为 在该区间上的一个原函数。在该区间上的一个原函数。 f x F x F xCFx所以所以 也是也是 的一个原函数。的一个原函数。 f x F xC1112. 不定积分：不定积分： f x dx函数函数 的所有原函数叫作的所有原函数叫作 的不定积分，记作的不定积分，记作 f x f x用用 表示表示 的一个原函数，则的一个原

57、函数，则 的不定积分可写作：的不定积分可写作： f x F x f x f x dxF xC根据不定积分的定义，可得其两条性质：根据不定积分的定义，可得其两条性质： f x dxf x Fx dxF xC112基本积分公式：基本积分公式：0dxCadxaxC1 11nnxx dxCnn 1lndxxCx 0,1lnxxaa dxCaaaxxe dxeCsincosxdxxC cossinxdxxC221seccosdxxdxxtan xC221cscsindxxdxxcot xC 221arcsinxdxCaax2211arctanxdxCaxaa1133. 不定积分运算法则：不定积分运算法则

58、： 0kf x dxkf x dxk f xg x dxf x dxg x dx114七定积分七定积分 1limnbianif x dxfx ifxx yf xoabbaxn iiSfx 1niiSfx 1limniniSfx115定积分的主要性质：定积分的主要性质： baabf x dxf x dx 0bbaakf x dxkf x dxk常数 bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx bcbaacf x dxf x dxf x dx116牛顿牛顿-莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：设设 为函数为函数 在区间在区间a,b的一个原函数，即的一个原函数，即 F x f x Fxf x b

59、af x dxF bF a baF x117八八 矢量的导数和积分矢量的导数和积分1、矢量的导数：、矢量的导数：直角坐标系中的一矢量直角坐标系中的一矢量 ： A t 1A t2A ttA 当当 时，时， 的极限为：的极限为：0t /At0limtAdAtdt xyzAAiA jAk在直角坐标系中：在直角坐标系中：yxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt矢量导数公式：矢量导数公式：118利用矢量导数公式可以证明：利用矢量导数公式可以证明：(1) ddAdBABdtdtdt(2) , Cd CAdACdtdt为常数(3) ddBdAA BABdtdtdt(4) ddBdAA BABdtdtdt1192、矢量的积分：、矢量的积分：设设 和和 均在同一平面直角坐标系内，且均在同一平面直角坐标系内，且 ，BAdBAdtxyBAdtAiA j dt则有：则有：dBAdtxyA dt iA dt j, xxyyBA dtBA dt120AAA设矢量设矢量 沿图示曲线变化，求沿图示曲线变化，求 ，A dsAdsdxidyjdzkxyzAAiA jAkdsA ds xyzAiA jAkdxidyjdzkxyzA dsA dxA dyAdz由于由于 ，1,0iijjk kijj kk i